1. 自然数:
正整数。如1,2,3,4,5。
2. 奇数:
不能被2整除的整数(可正可负),通式:2n+1。如-1,1。
3. 偶数:
能被2整除的整数(可正可负),零是偶数。通式:2n。如-4,-2,0,2,4。
4. 质数:
除了1和它本身之外没有别的因子的自然数。2是最小的质数,也是唯一的偶质数。1不是质数。如2,3,5,7,11,13。
5. 合数:
除了1和它本身之外由别的因子的自然数。4是最小的合数。1不是合数。如4,6,8,9。
6. 奇偶性分析:
1) 偶数=偶数+偶数 或 奇数+奇数,偶数=偶数×偶数 或 奇数×偶数
2) 奇数=奇数+偶数
3) 奇数个奇数相加减,结果为奇数
4) 偶数个奇数相加减,结果为偶数
5) 任意个偶数相加减,结果为偶数
6) 若n个整数相乘结果为奇数,则这n个整数为奇数
7) 若n个连续的整数相加等于零,则n为奇数。如:(-2)+(-1)+0+1+2=0
8) 若n个连续的奇数相加等于零,则n为偶数。如:(-3)+(-1)+1+3=0
9) 若n个连续的偶数相加等于零,则n为奇数。如:(-4)+(-2)+0+2+4=0
10) 两个质数之和为奇数,其中必有一个是2。
如:下面哪个不能表达成两个质数之和?
A. 15
B. 19
C. 22
D. 23
E. 25
综合例题:
若 ,其中a,b,c为整数,下面哪个不能是a+b+c的值?
A. -2
B. -1
C. 2
D. 4
E. 6
7.n个连续自然数的乘积一定能够被n!整除,如:
2×3×4,4×5×6×7
例题:蓝皮书141页57题 57.If n is an integer greater than 6, which of the following must be divisible by 3 ?
(A) n(n+1)(n-4)
(B) n(n+2)(n-1)
(C) n(n+3)(n-5)
(D) n(n+4)(n-2)
(E) n(n+5)(n-6)
8.若n能被a整除,且能被b整除,那么n一定能够被[a, b]整除。 (其中[a, b]表示a和b的最小公倍数,另外{a, b}表示a和b的最大公约数) 特别地,当a,b互质(即无公因子),则n能被a×b整除。(这里用到了公式[a,b]=a×b/{a, b})
如n能被8和12整除,n也能被24整除;
如n能被8和11整除,n也能被88整除。
例题:蓝皮书172页258题 258.The product of the first twelve positive integers is divisible by all of the following EXCEPT
(A)210
(B) 88
(C) 75
(D) 60
(E) 34
蓝皮书214页521题 521.If n and k are integers whose products is 400. which of the following statements must be true?
(A) n+ k>0
(B) n≠k
(C) Either n or k is a multiple of 10
(D) If n is even, then k is odd
(E) If n is odd, then k is even
9.余数表示法,如:
一个偶数被7除余3,问被14除余几?
p=7n+3,由于p为偶数,3为奇数,所以7n为奇数,n可以表示为2q+1
于是p=7(2q+1)+3=14q+10 很明显余数为10。
10.字母法(未知数法),如:
两个两位数各位与十位恰好颠倒,问下面哪个不能是两数之和?
A.181
B.121
C.77
D.132
E.154
设两数分别为ab和ba,则(ab)+(ba)=(10a+b)+(10b+a)=11(a+b),即和必为11的倍数 显然答案为A。
11.代入法, 如:
余数表示法例中,既然问被14除余几,则必然结果唯一,任意代入一个数即可,比如24,立刻得到答案10。 代入法是缺乏数论知识的广大学员做对大部分题的法宝。
12.一些整除性质。
1)已知C=A+B且A是m的倍数,则C是m的倍数与B是m的倍数互为充分必要条件
推论:一个数是否能够被5整除,只要看它的最后一位。
一个数是否能够被4整除,只要看它的后两位。
一个数是否能够被8整除,只要看它的后三位。
一个数能否被3整除,取决于各位之和能否被3整除。
例题:已知m=7n+8(n为整数),下面哪个不能是m的值?
A.49
B.43
C.64
D.78
E.92
2)个位数为1的数任意次方个位数均为1。
3)个位数为5的数任意次方个位数均为5。
4)个位数为6的数任意次方个位数均为6。
练习:求 的个位数是多少?
求 的个位数是多少?
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